Баробарӣ (математика)

Баробарӣ — дар математика, муносибати байни ифодаҳои мантиқ ва математика баробарӣ фақат он гоҳ дуруст аст, ки ҳар ду ифода як ашёро фаҳмонанд.

Тарзи дурусти ишоракунӣ

Аксиома

Баробарӣ аз рӯйи се аксиома муайян мешавад: 1) аксиомаи рефлективӣ – х(х=х). Дар ин ҷо аломати х квантори умумият буда, аксиома чунин хонда мешавад: «Барои тамоми х-ҳо х баробари х аст»; 2) аксиомаи симметрӣ – х y(x=y→y=x). Дар ин ҷо аломати → импликатсия буда, пайвандаки шартии «агар …, пас…»-ро ифода мекунад ва аксиома чунин хонда мешавад: «Агар барои тамоми х-ҳо ва барои тамоми у-ҳо х=у бошад, пас у=х аст»; 3) аксиомаи транзитивӣ (туфайлӣ) – х у z[(х=у Λ у=z) → (х=z)]. Дар ин ҷо Λ аломати конюнксия буда, пайвандаки «ва»-ро мефаҳмонад. Ин аксиома чунин хонда мешавад: «Агар барои ҳамаи х-ҳо, у-ҳо ва z-ҳо х=у ва у=z бошад, пас х =z аст».

Дар мантиқ

Баробарӣ дар мантиқ, муносибати байни ифодаҳои рамзӣ, ки дар онҳо фақат як объект дар назар дош-та шудааст. Ҳангоми баёни ҳар чизе, ки ба тавассути забони ягон назария сурат мегирад, ҳамон чизро оид ба чизи дигар низ гуфтан мумкин аст ва баръакс, дар натиҷа ҳамеша гуфтори мо ҳақ мешавад. Объектҳои ифодашавандаро бо роҳҳо ё усулҳои гуногун баён кардан мумкин аст. Масалан, яке аз объектҳоро дар шакли «3. 5» ва объекти дигарро дар шакли «20–5» ифода кардан мумкин аст; ё ин ки мафҳумҳои «Сардафтари адабиёти муосири тоҷик» ва «муаллифи романи «Ғуломон» аз ҷиҳати ҳаҷм баробаранд. Одатан дар байни ифодаҳои мазкур аломати Z гузошта мешавад. Муносибати Z имконият медиҳад, ки объектҳои якхелаи бо роҳҳои гуногун бунёдгардида ва дар матнҳои гуногун шомилшуда, яке бо дигаре иваз карда шаванд (қоидаи гузориш). Яке аз принсипҳои муносибати номгузорӣ принсипи якдигаривазкунӣ мебошад. Принсипи мазкур тақозо менамояд, ки ҳангоми иваз кардани номе, ки ба ягон ҷумла шомил буда, бо номи дигари баробарқимат баён ёфтааст, бояд маънои ҷумла тағйир наёбад, яъне гуфтори (ҷумлаи) ҳақ бояд ҳақ ва гуфтори дурӯғ бояд дурӯғ бимонад. Агар принсипи мазкур риоя нашавад, хориқаю муаммоҳо пайдо мешаванд. Бинобар ин, ивазкунӣ ё худ гузориш зарур аст, ки дар он нафақат баробарии қиматҳо, балки баробарии маъноҳо низ ба эътибор гирифта шавад.

Ифода ва формулаҳо

Ифода ё худ формулаҳое, ки дорои предикати Р мебошанд, шояд тағйирёбандаҳо ё ки параметрҳо дошта бошанд. Агар чунин формула барои ҳамаи қиматҳои тағйирёбандаҳо (параметрҳо) ҳақ бошад, пас муносибати Z-ро айният меноманд. Агар формула фақат барои баъзе қиматҳо ҳақ бошад, онро муодила мегӯянд. Муносибати Z дорои хусусиятҳои симметрӣ, транзитивӣ ва рефлексивӣ мебошад. Хусусияти симметрӣ: Ұх Ұу (х = у) → (у = х)), ки дар ин ҷо → – аломати импликатсия буда, ки ба ҷойи бандаки «агар..., он гоҳ...» омадааст. Формула ба тариқи зайл хонда мешавад: «Барои ҳар гуна х ва барои ҳар гуна у, агар х баробари у бошад, у баробари х аст». Хусусияти рефлексивӣ: Ұх (х = у), дар ин ҷо Ұх – квантори умумият хонда мешавад: «Бар ҳар гуна х...» = – аломати Б. Ҳамин тариқ формула ин тавр хонда мешавад: « Барои ҳар гуна х, х ба х баробар аст». Хусусияти транзитивӣ: Ұх Ұу Ұᶎ (х = у) ˄ (у = ᶎ) → (х → ᶎ), дар ин ҷо аломати ˄ – конъюнксия буда, бандаки «ва»-ро ифода мекунад. Формула ин тавр хонда мешавад: «Барои ҳар гуна х, у ва ᶎ, агар х баробари у ва у баробари ᶎ бошад, пас х баробари ᶎ аст». Формулаи Б. (х = у) шакли мухтасари формулаи Ұᶎ (ᶎ €х ≡ ᶎ €у) мебошад. Ифодаи мазкурро чунин шарҳ додан мумкин: ду объект, ё ду гурӯҳ, ё ду маҷмӯъ фақат дар чунин ҳолат бо ҳам баробар ҳисобида мешаванд, агар онҳо аз унсурҳои якхела иборат бошанд. Ду гурӯҳ, ё ки ду маҷмӯъ бо ҳам баробар мебошанд, агар гурӯҳи (маҷмӯи) якум зергурӯҳи (зермаҷмӯъ) гурӯҳи (маҷмӯъ) дигар ва дар айни ҳол гурӯҳи (маҷмӯъ) дуюм зергурӯҳи (зермаҷмӯъ) гурӯҳи (маҷмӯъ) якум бошад. Б. нисбати мафҳуму қазияҳо маънои баробарқиматро низ дорад, зеро мафҳумҳое, ки ҳаҷмашонро ашёи якхела ташкил медиҳанд, баробарқимат мебошанд. Лекин онҳо аз рӯйи мазмун аз якдигар фарқ мекунанд. Дар мантиқи муосир мафҳумҳову қазияҳои «баробарқимат» ва «баробарқувва» нисбати объектҳо ҳамчун муродиф низ истифода мешаванд, ки онҳо муносибати эквивалентии байни объектҳоро ташкил медиҳанд. Масалан, ифодаи «А ва В баробарқимат ё баробарқувваанд»-ро бо тариқи рамзӣ чунин менависанд: А ~ В. Амалҳои мантиқии ˄ (конюнксия), ˅ (дизюнксия) ва ┐ (инкор)-ро истифода намуда, формулаи мазкурро дар шакли баробарии зер навиштан мумкин аст: А ~ В = (А → В) ˄ (В → А) = (Ᾱ ˅ В) ˄ (В ˅ А).

Баробарии алгебраи мантиқ

Баробариҳои алгебраи мантиқ қисми асосии баробариҳоро дар мантиқ ва риёзиёт ташкил медиҳанд, ки маъмултаринашон онҳоанд:

1. А ˄ В = В ˄ А; А ˅ В = В ˅ А
2. А ˄ (В ˄ С) = (А ˄ В) ˄ С; А˅ (В ˅ С) = (А ˅ В) ˅ С
3. А ˄ (В ˅ С) = (А ˄ В) ˅ (А ˅ С); А ˅ (В ˄ С) = (А ˅ В) ˄ (А ˅ С)
4. А ˄ А = А; А ˅ А = А.
5. А ˅ (А ˄ В) = А; А ˄ (А ˅ В) = А
6. А ˅ С = А; А ˄ 1 = А; А ˅ 1 = 1; А ˄ 0 = 0
7. А ˅ А = 1.
8. А ˄Ᾱ = О.

Формулаи якум дар риёзиёт низ ҷой дорад, лекин формулаҳои боқимонда иҷро намешаванд. Дар мантиқ бошад, ҳамаи онҳо қонунҳои амали мантиқиро ташкил медиҳанд. Б. дар мантиқи шаклӣ барои ифодаи як қазия ба тавассути қазияҳои дигар истифода мешавад. Масалан, конюнксияро ба тавассути дизъюнксия ва инкор чунин тасвир мекунанд: р ˄ q = р ˅ q; р ˄ q = р ˅ q. Ё худ конюнксияро дар шакли импликатсия ва инкор баён мекунанд: р ˄ q = р → q; дар ин ҷо р ва q қазияанд. Айнан аз дизюнксия ба конюнксия ё импликатсия, ё аз импликатсия ба конюнксия ва дизъюнксия гузаштан мумкин аст. Хулоса, баробарӣ дар илмҳои мантиқ ва риёзиёт мавқеъ ва мақоми баланди пурарзиш дорад.

Адабиёт

• Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1971;

• Ивлев Ю. В. Логика. М., 2004;

• Мантуров О. В. ва диг. Толковый словарь математических терминов. М., 1965;

• Бочаров В. А., Маркин В. И. Введение в логику. М., 2008.
• Н. Сайфуллоев.

Манбаъ

• Баробарӣ // Асос — Боз. — Д. : СИЭМТ, 2013. — (Энсиклопедияи Миллии Тоҷик : [тахм. 25 ҷ.] / сармуҳаррир Н. Амиршоҳӣ ; 2011—2023, ҷ. 2). — ISBN 978-99947-33-52-4.