Гурӯҳ (риёзиёт)

Гурӯҳ дар илми риёзӣ — маҷмӯъи унсурҳое, ки дар он амали бинарии ассотсиативӣ (амали унарии ёфтани унсури баръакс ва унсури нейтралии бо ягон хосияти умумии табииашон алоқаманд — аксиомаҳои гурӯҳӣ) муқаррар гардидааст. Фасли алгебраи умумиро, ки бо гурӯҳҳо сари кор дорад, назарияи гурӯҳҳо меноманд.

Маҷмӯи ададҳои бутун, ки дар он амали ҷамъ муқаррар гардидааст, мисоли маъмули гурӯҳ ба ҳисоб меравад, зеро дар он суммаи ду адади бутун боз адади бутун мебошад, адади аломаташ муқобил унсури баръакс аст, сифр нақши унсури нейтралиро мебозад. Мисолҳои дигари гурӯҳҳо: маҷмӯи ададҳои ҳақиқӣ бо амали ҷамъ, маҷмӯи гардишҳои ҳамворӣ нисбат ба ибтидои системаи координатаҳо. Бинобар тавассути системаи аксиомаҳо ба таври абстрактӣ таъриф додани гурӯҳ, ки ба хосияти маҷмӯъҳои гурӯҳташкилкунанда вобаста намебошад, дар назарияи гурӯҳҳо манзума (аппарат)-и махсуси умумӣ сохта шуд, ки дар натиҷа омӯхтани доираи васеи объектҳои математикӣ (сарфи назар аз хосиятҳои умумии сохт) имконпазир гардид.

Маҷмӯи G ба шарте гурӯҳ номида мешавад, ки агар: 1) дар маҷмӯи G як амали алгебравӣ ҷорӣ карда шуда бошад ва тибқи он ба ҳар як ҷуфти мураттабгардидаи маҷмӯи G (a, b) ягон унсури ҳамин маҷмӯъ — с мувофиқ ояд; 2) барои ҳар гуна се унсури дилхоҳ (a, b,с) маҷмӯи G* (b*с)=(ɑ*b)*с мавҷуд бошад (*- рамзи шартии амал), дар G чунин унсури бетарафи е (ба истилоҳ воҳиди гурӯҳ) ёфт шавад, ки барои ҳар гуна унсури а аз ҳамин маҷмӯъ ɑ*е = α бошад; 4) барои ҳар гуна аоG чунин хоG мавҷуд бошад, ки ɑ* х=е гардад (х -унсури баръакс ном дорад, ишораташ α −1).

Амали алгебравиро дар гурӯҳҳо ин тавр ҳам ифода мекунанд: ɑ+b=с ё ɑb=с, ки мувофиқан тарзи навишти аддитивӣ ва мултипликативии амал ном доранд. Агар дар маҷмӯи G амали алгебравӣ шарти иловагии ɑ*b=b*ɑ (ɑ, bоG)-ро қонеъ гардонад, гурӯҳро коммутативӣ ё абелӣ меноманд. Вобаста ба шумораи унсурҳои маҷмӯи G гурӯҳ охирнок ва ё беохир мешавад. Шумораи унсурҳои гурӯҳро тартиби гурӯҳ меноманд. Як қисми унсурҳои гурӯҳ, ки нисбат ба амали дар он муқарраргардида гурӯҳ мебошад, зергурӯҳ номида мешавад. Мас., маҷмӯи ҳамаи ададҳои бутун, маҷмӯи ададҳои ратсионалӣ, маҷмӯи ададҳои ҳақиқӣ, маҷмӯи ададҳои комплексӣ нисбат ба амали ҷамъ гурӯҳи коммутативӣ мебошанд, маҷмӯи ҳамаи ҷойивазкуниҳои 1, 2, 3, …, n нисбат ба амали зарб низ гурӯҳро ташкил медиҳанд (дар мавриди n ≤ 3 будан ин гурӯҳ ғайрикоммутативӣ аст).

Мафҳуми гурӯҳро бори аввал ба математика олими фаронсавӣ Э. Галуа тавассути таҳқиқи бисёрузваҳо солҳои 30 асри 19 ворид намудааст. Ж. Лагранж, Н. Абел ҳам дар назарияи гурӯҳҳо ба комёбиҳои назаррас ноил гардиданд. Олимони рус О. Ю. Шмидт, Л. С. Понтрягин, А. Гурӯҳ Курош дар инкишофи назарияи гурӯҳҳо таҳқиқоти зиёд анҷом додаанд. Таҳқиқи назарияи гурӯҳҳо ва татбиқи он дар соҳаҳои мухталифи илм ва техника ҳанӯз идома дорад.

Адабиёт

• Гурӯҳ / А. Қурбонов // Вичлас — Гӯянда. — Д. : СИЭМТ, 2015. — (Энсиклопедияи Миллии Тоҷик : [тахм. 25 ҷ.] / сармуҳаррир Н. Амиршоҳӣ ; 2011—2023, ҷ. 4). — ISBN 978-99947-33-77-4.