Биноми Хайём-Нютон

Биноми Хайём-Нютон — формулаест барои ба ҷамъшавандаҳои алоҳида паҳн намудани дараҷаи суммаи ду тағйирёбанда:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+\dots +{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+\dots +{n \choose n}b^{n}$, (1)

ки ин ҷо ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}=C_{n}^{k}$ — зариби биномалӣ, $n$ — адади бутуни ғайриманфӣ мебошанд..

Ҷадвале, ки рафти ҳисоб кардани зарибҳои биномалиро барои дараҷаҳои натуралӣ осон менамояд, шакли секунҷа дошта, секунҷаи Паскал номида мешавад. Соли 1676 Нютон формулаи биномро барои дараҷаи дилхоҳи ратсионалӣ (мусбат ё манфӣ) исбот намуд (онро танҳо соли 1826 Н. Абел исботи дақиқ кард). Дар ҳолати ғайринатуралӣ будани зарибҳои биномалӣ аз рӯйи формулаи

${n \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k!}}$

ҳисоб карда шуда, тарафи рости формулаи (1) ба қатори беохир мубаддал мегардад.

Формулаи биноми Хайём-Нютонро барои дараҷаи бутуни мусбат ҳанӯз дар садаи XI олими тоҷик Умари Хайём медонист. Хайём бори аввал аз таҳти решаи дараҷаи n-ум баровардани қимати тақрибии ададро нишон додааст, ки он ба ҳисоб кардани ифодаи (1) вобастагӣ дошт:

Хайём дар «Рисола фӣ-л-бароҳин ало-масоил-ил-ҷабр ва-л-муқобала» хотиррасон мекунад, ки ифодаҳои (1) ва (2)-ро таҳлил кардааст ва исботи онро дар «Мушкилоту-л-ҳисоб» метавон пайдо кард. Мутаассифона, ин асари Хайём то ҳол дастрас нагардидааст, вале усул ва тарзи татбиқи формулаи Хайём дар асарҳои пайравони ӯ Насируддини Тӯсӣ, Ҷамшеди Кошонӣ, Алоуддини Қушчӣ ва Наҷмуддин Алихон пурра баён ёфтаанд. Онҳо қоидаи Хайёмро тақвият дода, тарзи ёфтани зарибҳои мобайниро низ нишон доданд.

Формулаи биноми Хайём-Нютон дар фаслҳои гуногуни математика (алгебра, назарияи ададҳо ва ғайра) васеъ татбиқ мешавад.

Сарчашма

• Биноми Хайём-Нютон / С. Исҳоқов // Асос — Боз. — Д. : СИЭМТ, 2013. — (Энсиклопедияи Миллии Тоҷик : [тахм. 25 ҷ.] / сармуҳаррир Н. Амиршоҳӣ ; 2011—2023, ҷ. 2). — ISBN 978-99947-33-52-4.

Шаблон:Algebra-stub