Алгебра

Алгебра (ар. اَلْجَبْرْ‎ «ал-ҷабр» — мукамал кардан) — ҳамчун қисми таркибии илми ҳисоб (Арифметика) муддати тӯлонӣ бо вай якҷоя инкишоф ёфт.

Сеандозаи рости канои тасвиркардашудаи алгебрави тригонометрии муодилавӣ.

Таърихи пайдоиши алгебра

Дар доираи илми ҳисоб ҳанӯз 4000 сол пеш бобулиҳо, мисриҳо, баъдтар юнониҳо, хитоиҳо ва ҳиндуиҳои қадим ишораҳои алоҳида истифода бурда, масъалаҳои гуногунро ҳал менамуданд.

Осиёи Миёна

Махсусан дар Осиёи Миёна ва Ҳиндустони асримиёнагӣ (асрҳои IX-XI) ин фанни қадима хеле пеш рафт ва бо кашфиётҳои Навин ғанӣ гашт. Дар нимаи аввали IX донишманди бузурги Шарқ Муҳаммади Хоразмӣ (780-850) асаре бо номи “Ҳисоб ал-ҷабр в-ал-муқобала” иншо намуд, ки дар он илми алгебра ҳамчун фанни мустақил омӯхта шуд. Истилоҳи “aлгебра” дар натиҷа бо забони лотинӣ ба ҳамин шакл тарҷума шудани асари номбурда ба миён омад. Худи Хоразмӣ нахустин шахсе буд, ки ба фанни алгебра асос гузоштааст.

Беҳтарин падида ва комравоии олимони Осиёи Миёна ин аст, ки илми алгебраро чун илми мустақил рӯи кор оварданд. Муҳаммад ибни Мусо Хоразмӣ дар улуми ҷаҳонӣ бо асари «Ҳисоби ҳиндӣ» машҳур гардид ва аз ҷиҳати таърихӣ падидаи илми ал-ҷабр бори аввал дар асари «Китоби мухтасар дар бораи ал-ҷабр ва ал — муқобила» — и ин олими фарҳехта ёд шудааст. Ин асар дар асри XII аз арабӣ ба лотинӣ тарҷума шуда, олимони аврупоӣ ба ҳисоби ҳиндӣ — арабӣ ошно шуданд ва аз ҳамон вақт дар илми риёзии ҷаҳон рақамҳои арабӣ ворид гаштанд.

Аввалин китоби Муҳаммади Хоразмӣ, ки ба забони лотинӣ тарҷума ва дар Аврупо ба сифати китоби дарсӣ истифода мешуд, ба пешрафти риёзӣ ва илмҳои дигар таъсири бузург расонида, ба ганҷинаи тамаддуни ҷаҳонӣ шомил шуд. Ин кашфиёти форсро муаррихи маъруфи амрикоӣҶорҷ Сартон (асри ХХ) «ибтидои алгебраи аврупоӣ» ном бурда буд. Баъди Хоразмӣ риёзидонони Осиёи Миёна ва Шарқи Наздик ақидаҳои ӯро оид ба алгебра ҳамчун таълимот дар бораи ҳалли муодилаҳо инкишоф доданд.

Садаи XI асри заррин аст, ки кашфу халлоқият авҷи аълояшро дар ҳамин аср пайдо кард. Ҷорҷ Сартон дар асари бузурги илмӣ — библиографиаш — «Муқаддима дар таърихи илм» таърихи илми ҷаҳониро ба марҳилаҳои нимасрӣ тақсим мекунад ва пешрафти ҳар кадоми онро ба фаъолияти яке аз шахсиятҳои илмӣ вобаста медонад. Умари Хайёми Нишопурӣ файласуф, шоир, риёзидон, намоянда ва муаррифгари ин аср ба ҳисоб меравад. Ӯ дар китоби «Доир ба исботи масъалаҳои ал-ҷабр ва ал-муқобала» (1069-1071) усули умумии геометрии ҳалли муодилаҳои кубиро кор карда, нуздаҳ намуди ин гуна муодилаҳоро тадқиқ кард ва дар ҳалли муодилаҳои алгебравӣ ба геометрия бартарӣ дод. Ҳамчунин, баъзе аз донишмандони илми риёзӣ тахмин мекунанд, ки Кошонӣ 400 сол пеш аз Умари Хайём, 600 сол қабл аз Нютон ҷудокунии биномро маълум намуда буд. Файласуф ва донишманди шинохтаи тоҷик А. Турсон дар китоби «Эҳёи Аҷам» овардааст, ки «ин ном иштибоҳан (бо номи Нютон, — Т. А.)» расм шудааст.

Ин иштибоҳи таърих дар қисмати аз реша баровардани адад низ ба вуҷуд омадааст. Дар тадқиқоти Кушёр ибни Лабан Ҷилӣ методи аз решаи квадратӣ баровардани ададро вохӯрдан мумкин аст, ки он шабеҳ ба таҳқиқоти Руфинер — Ҳорнер (асри XIX) аст. Усули содатарини аз решаи кубӣ баровардани ададро 800 сол пеш Абулҳасани Насавӣ (асри X-XI; зодаи Нисон) маълум намуда буд. Усули аз таҳти решаи ихтиёрӣ тақрибӣ баровардани адад аввалин бор дар Осиёи Миёна ба вуҷуд омад. Дар ин самт риёзидонони форсу тоҷики асрҳои XV-XVII Кошонӣ, Алқушҷӣ, Баҳовуддини Омулӣ ва Наҷмиддини Алихон низ саҳмгузоранд. Мутаассифона, то кунун ин равия ва афзалияти фаъолияти онҳо мавриди пажӯҳиш қарор нагирифтааст.

Ташаббуси риёзидонони Осиёи Миёна дар он аср ба ин матлаб ба итмом намерасад. Усули тақрибии ҳалли баъзе аз намудҳои муодилаҳои дараҷаи олӣ дар қисмати фаъолияти илмии кори онҳо қарор дошт. Дар ин асно Ғиёсиддин Кошонӣ барои ҳалли муодилаи кубӣқоидаи асосии интегратсионии аҷибро кашф намуд, ки ин усулро риёзидони англис Ҳорен дубора дар асри XIX хулосабарорӣ намуд. Дар таркиби усули Кошонӣ, инчунин, усули ҷудокунии решаҳо низ дохил мешавад, ки онро баъдтар Нютон такрор намудааст. Илми алгебра баъди ин дар асарҳои риёзидонҳои минбаъдаи Осиёи Миёна, ки роҷеъ ба мафҳумҳои асосии алгебра (ҳалҳои ҳақиқӣ ва каззобии муодилаҳо, классификатсияи муодилаҳо ва ғайра сермаҳсул кор мекарданд, рушд ёфт. Бахусус, вобастагии байни решаҳо ва коэффитсиентҳои муодилаҳои квардратӣ, ки Наҷмиддини Алихон (асри XVI; Эрон) онро дар рисолаи «Алгебра» кашф намуда, дар адабиёти илмӣ бо назм ифода кардааст, кашфиёти бузург дар риёзӣҳисоб мешавад. Мутаассифона, ин теоремаро риёзидони франсавӣ Франсуа Виет дар асри XVII аз нав маълум кард ва он бо номи ӯ (теоремаи Виет) дар илм машҳур гардид. Аз рӯи инсоф ва ҳақиқати илмӣ мебуд, агар муаллифони китобҳои таълимии алгебраи мактабӣ ин вобастагиро бо унвони теоремаи Алихон — Виет номгузорӣ мекарданд.

Алгебраи Хоразмӣ дар давоми асрҳои XII – XVI дар тарҷумаи лотиниаш мавриди омӯзиши аврупоиён қарор гирифта, барои дар Ғарб тараққӣ ёфтани ин фанни бостонӣ замина гузошт. То асри XV ҳамаи бузургиҳо, амалҳо бо онҳо, ҳалҳову ҷавобҳои масъалаҳо танҳо бо ибораҳо ифода меёфтанд. Бинобар ҳамин, математикаи то он давра мавҷударо математикаи риторикӣ ё иборавӣ меноманд.

Ифодаҳои ададӣ, ифодаҳои ҳарфӣ ва аломатҳову ишораҳои оҳиста-оҳиста дар илм ҷои устувореро соҳиб шуданд.

Дар Аврупо

Дар нимаи дуюми асри XV дар Италия, Олмон ва мамлакатҳои дигари Аврупо баъзе аломатҳои алгебравӣ қабул шуданд, ба истифода аз ҳарфҳо асос гузошта буданд. Масалан, дар охири асри XV олими фаронсавӣ Франсуа Виет (1540-1603) на танҳо барои ифодаи номаълум, балки барои навишти адади дилхоҳ низ ҳарфҳои алифбои лотиниро истифода бурда, ба кашфи ифодаҳову формулаҳо асос гузошт. Рафта-рафта дар асри XIII дар математика аллакай бузургиҳои гуногунро бо ҳарфҳои гуногун ифода мекардагӣ шуданд. Минбаъд, бо ҳарфҳо низ ҳамаи амалҳои ҳисоб иҷро мешуданд, ки барои ададҳо ҷой доштанд.

Аломати зарб ва тақсим

Ба сифати аломати зарб истифода шудани нуқта низ аз ҳамин давра оғоз гардидааст. Барои ифодаи амали тақсим асосан дар Осиёи Миёна аломати «-» истфода мешуд. Ҳам аломати зарбу ҳам аломати тақсим (дар шакли ду нуқта) дар охири асри XVII аз тарафи математики олмонӣ Г.Лейбнитс (1646-1716) қабул шудаанд.

Аломатҳои баробари ва қавсҳо

Дар ибтидои асри XVII аломатҳои баробарӣ ва қавсҳо дохил гардиданд:қавсҳои нимдавраро математики итолиёӣ Н. Тарталия, қавсҳои квадратиро ҳамватани ӯ Р. Бомбелӣ ва қавсҳои фигуравиро Ф. Виет пешниҳод намуданд. Аз соли 1637 сар карда, аз тарафи математики олмонӣ Р. Декарт (1596-1662) номаълум бо яке аз ҳарфҳои охири алифбои лотинӣ ва ададҳои додашуда бо яке аз ҳарфҳои авали ҳамин алифбо ишора шудан гирифт. Ҳамин тавр, Декарт аввалин шуда ба рамзҳои алгебравӣ шакли муосирро додааст.

Аломатҳои калон ва хурд

Аломатҳои > («калон») ва < («хурд») соли 1631 аз тарафи Т.Гарриот, аломати баробарӣ бори нахуст аз тарафи Р.Рекорд (соли 1557) қабул шуданд. Ишорати амали тарҳ низ дар охири асри XV аз тарафи математикҳои олмонӣ пешниҳод шудааст.

Амалҳо бо дараҷаҳо ва аз ин ҷо бо бисёраъзогиҳо ҳануз аз замони хеле бостон маълум буданд. Танҳо камбуди дар он аст, ки ин амалҳо на бо ишоратҳои ҳарфӣ, балки бо ибораҳо ифода ёфтаанд, ки барои истифодаи ноқулай ҳисоб меёбанд. Аз ибтидои асри XVII cap карда амалҳо бо дараҷаҳо ва якаъзогиҳо ҳамон тавре, ки мо ҳоло бо онҳо одат кардаем, дар Аврупо паҳн гаштан гирифтанд. Аз ин ҷо имкони зарби якаъзогӣ бо якаъзогӣ, якаъзогӣ бо бисёраъзогӣ ва сипас бисёраъзогӣ бо бисёраъзогӣ ба миён омад. Ба ибораи дигар, алгебра оҳиста-оҳиста шакли ҷиддӣву пай дар пайро соҳиб гашта тақрибан дар охирҳои асри XVII ва ибитдои асри XVIII ба ҳамон мундариҷае соҳиб гашт, ки мо ҳоло онро дар мактабҳо меомӯзем. Дар барқароршави ва устуворшавии алгебра ҳамчунин шохаи мустақили математика олимони бисёр мамлакатҳо, хусусан Осиёи Миёна саҳмгузоранд.

Агар поягузори алгебра ҳамчун илм олими бузург Муҳаммад Хоразмӣ (787-850) ҳисоб ёбад, файласуф ва математику ситорашиноси дигари форсу тоҷик Умари Хайём (1048-1123) пас аз се асри ҳаёти ӯ ин илми бостониро қуввату илҳоми тоза бахшид.

Дар инкишофи алгебра ҳиссаи олимони итолиёвии асри XVI Тарталия (1499-1557) ва Кардано (1501-1576) олими бузурги олмонӣ Декарт (1596-1650), олими фаронсавӣ Франсуа Виет (1540-1603) низ калон аст.

Вале ҳеҷ ягон фан, алалхусус математика, ки аз эҳтиёҷоти ҳаррӯзаи инсон пайдо шуда, дар корҳои сохтмонӣ, шинои, баҳри, ҳатто парвозҳои кайҳонӣ ҳамчун ёрдамчии беминнат хидмат мекунад, сукут накарда, ҳамеша ру ба тараққист, инкишоф меёбад, ғанӣ мегардад. Аз ин ҷост, ки дар давоми асрҳои XVII - XIX аз алгебра шохаи нав, аз қабили алгебраи бисёраъзогиҳо ба миён омад.

Риёзидонони Осиёи Миёна, аз Хоразмӣ cap карда, ифодаҳои дуаъзоги ва сеаъзогии квадратиро ба ду гурӯҳ сода ва мураккаб ҷудо намуда, дар асоси онҳо 6 намуди мухталифи муодилаҳоро ҳал намудаанд. Дар ин кори заҳматталаб инчунин номи олими тоҷик Алӣ Кушчиро (асри XV), Баҳоваддини Омулӣ, Наҷмиддин Алихонро бо неки ёдоваршудан мумкин аст. Онҳо дар баробари пешниҳод намудани формулаҳои ҳалли муодилаҳои аз бисёраъзогиҳои дараҷаи ду тартибёфта, инчунин муодилаҳои тартиби болотарро низ бо тарзҳои сунъи ҳал намуда, дар назарияи муодилаҳои тартиби се ва чор тағйироти ҷиддӣ ворид сохтаанд.

Таърих - Формулаҳои квадрати сумма, куби сумма, квадрати фарқ, куби фарқ

Формулаҳои квадрати сумма, куби сумма, квадрати фарқ, куби фарқ, аз замонҳои хеле бостон маълуманд. Хануз пеш аз милод олимони Хитой формулаҳои мазкурро барои максадҳои амали истифода мебурданд. Вале, азбаски онҳо амалҳои математикиро бо сухан ифода менамуданд, баёни формулахо низ хеле мураккаб буданд.

Олимони Юнони Қадим масъалаҳои алгебравиро асосан бо тарзӣ геометрӣ ё шаклхо маънидод менамуданд. Формулаи квадрати фарқро низ ҳангоми а>Ь будан маънидод намудан мумкин аст. Ҳангоми а>0, 6>0 ва с>0 будан формулаи квадрати суммаи се ҷамъшавандаро низ шарҳ додан мумкин аст. Формулаҳои зарби мухтасарро аз формулаи умумитаре, ки бо номи формулаи биноми Хайём ном дорад, ҳосил намудан мумкин аст.

Умари Хайём дар «Мушкилоти ҳисоб» ном асараш тарзи ёфтани решаи бутунро бо нишондиҳандаи дилхоҳ натурали аз ададҳои бутун нишон додааст. Дар асари хеш овардааст, ки ӯ тарзи ёфтани решаҳои квадрати ва кубии ҳиндиро (ба формулаҳои квадрат ва куби суммаи ададҳо такя намуда) исбот намудааст. Мутаассифона, ин асари пурарзиш то замони мо боқӣ намондааст. Баъди аз тарафи И. Нютон барои нишондихандаи касри низ ҳосил намудани формулаи Хайём формулаи мазкур бо номи беноми Нютон ёдовар шудааст. Холо дар таърихи математика онро ҳамчун беноми Хайёму Нютон ёдовар мешаванд.

Соли 1556 математики итолиёӣ Тарталия (1449-1557) дар асараш «Тадқиқоти умумии ададҳо ва ченакҳо» ҷадвали бо ном «коэффитсиентҳои беномиро» ҷой дода буд, ки барои ёфтани коэффитсиентҳои намуди формулаҳои зарби мухтасар дошта хидмат мекард. Масалан, ҳангоми ба дараҷаи ду бардоштани дуаъзогии а+b коэффитсиентҳои 1, 2, 1; ҳангоми ба дараҷаи се бардоштани он коэффитсиентхри 1, 3, 3, 1 ва ғайра ҳосил мешуд (ниг ба коэффитсиентҳои формулаҳои (1-2); (3-4) ва ғайра). Минбаъд Паскал (1623-1662) ҳамин коэффитсиентҳоро дар шакли секунҷа овардааст, ки дар таърих бо номи секунҷаи Паскал ё секунҷаи арифметики маъруф аст.